ISTITUZIONI DI MATEMATICHE A - L

I) Insiemi ed insiemi numerici. Cenni di teoria degli insiemi. Prodotto cartesiano fra insiemi. Relazioni, equivalenze, partizione, insieme quoziente. Ordinamenti. Concetto di funzione fra insiemi di elementi di natura qualsiasi. Dominio ed immagine di una funzione. Rappresentazione di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzioni inverse. Funzioni composte. Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi. Principio di induzione. Diseguaglianza di Bernoulli. Progressioni aritmetiche e geometriche. L’insieme dei numeri razionali. L’irrazionalità di √2 e l’insieme dei numeri reali. Assiomi dei numeri reali e proprietà di completezza. La retta reale ed i suoi intervalli. Valore assoluto e disuguaglianza triangolare. Massimo e minimo di un insieme numerico, estremo inferiore ed estremo superiore. Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici e con ripetizione; binomio di Newton.

II) Numeri complessi. Definizione dei numeri complessi, forma algebrica, operazioni, rappresentazione geometrica, forma trigonometrica dei numeri complessi, radici n-esime dei numeri complessi. Semplici equazioni nel campo dei numeri complessi.

III) Elementi di algebra lineare. Vettori ed algebra vettoriale, dipendenza ed indipendenza lineare tra vettori, basi, prodotto scalare, vettoriale, misto e doppio prodotto vettoriale. Matrici, operazioni tra matrici, determinanti e loro proprietà, invertibilità di una matrice, rango, riduzioni di matrici. I sistemi algebrici lineari, la regola di Cramer, il teorema di Rouché-Capelli, metodo di eliminazione di Gauss Jordan.

IV) Elementi di geometria analitica nel piano. Equazione di una retta. Parallelismo ed ortogonalità tra rette. Cambiamenti di riferimento. Coordinate polari. Punti impropri. Classificazione delle coniche: circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.

V) Funzioni. Elementi di topologia. Campo di esistenza di una funzione. Limiti di funzioni. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e confronto. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Funzioni continue. Punti di discontinuità di una funzione. Composizione di funzioni continue. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass*. Criteri di continuità per le funzioni inverse e le funzioni monotone*. Continuità delle funzioni elementari.

VI) Successioni. Definizione di successione. Successioni regolari. Teoremi sui limiti delle successioni. Limiti notevoli. Criteri di convergenza e divergenza delle successioni*. Relazionie tra i limiti delle successioni ed i limiti delle funzioni*.

VII) Calcolo differenziale. Derivata di una funzione. Significato geometrico. Derivabilità e continuità. Regole per il calcolo delle derivate. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. Punti angolosi, cuspidi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Massimi e minimi relativi. Criteri di monotonia. Concavità, convessità e flessi. Criterio di convessità*. Teorema di de l'Hopital*. Asintoti. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor.*

VIII) Integrali. Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Metodi di integrazione per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Integrali delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione. Integrale definito. Proprietà degli integrali definiti*. Teorema della media. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo degli integrali definiti. Integrali impropri. Criteri di convergenza*. Applicazioni: calcolo di aree di regioni piane, di volumi, determinazione del baricentro di figure piane.

IX) Cenni sulle equazioni differenziali. Generalità. Teorema di Cauchy. Equazioni differenziali immediate. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari

X) Serie. Definizione di serie e di carattere di una serie. Criterio di convergenza di Cauchy*. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie di Mengoli, geometrica e armonica. Operazioni sulle serie. Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi*: confronto, infinitesimi, rapporto, radice, condensazione. Serie armonica generalizzata. Convergenza assoluta. Serie con termini di segno alterno. Criterio di convergenza di Leibnitz*.

Testi consigliati:

• P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
• P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, Vol. 1 ( parte I e II) Liguori Editore.
• M. Gionfriddo, Istituzioni di Matematiche, TRINGALI, Catania.
• G. Zwirner, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica Vol.1, CEDAM
• G. Zwirner, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica Vol.2, CEDAM

L'esame prevede una prova scritta atta a verificare le conoscenze teoriche e le capacità di calcolo dello studente. La prova scritta sarà poi seguita da una verifica orale.

Le dimostrazioni relative agli argomenti contrassegnati con * possono essere omesse.