ISTITUZIONI DI MATEMATICHE M - Z

Il corso ha come obiettivo sia la formazione logico-matematica di base, intesa anche come capacità di comprendere percorsi ipotetico-deduttivi, che quello di fornire strumenti applicativi di calcolo utili alla risoluzione di un problema.

Conoscenze matematiche di base fornite dalla scuola superiore. In particolare: equazioni e disequazioni algebriche; sistemi di equazioni e disequazioni; potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche. In ogni caso, tali argomenti verranno richiamati durante le ore di lezioni.

La frequenza non è obbligatoria, ma si suggerisce vivamente di partecipare alle lezioni.

Fondamenti. Richiami di algebra elementare. Cenni di teoria degli insiemi. Insieme dei numeri Naturali e Principio di induzione. Insieme dei numeri Interi, Razionali e Reali. Insiemi di numeri reali limitati. Estremi di un insieme numerico e relative proprietà. Intervalli. Intorno di un punto.

Elementi di algebra lineare. Matrici, definizioni, prime propiretà e operazioni. Determinante di una matrice, tecniche di calcolo e proprietà. Minore complementare e Complemento Algebrico. Rango di una matrice, tecniche di calcolo e proprietà. Matrice inversa. Sistemi lineari. Metodo di Sostituzione. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Riduzione o di Gauss. Vettori ed algebra vettoriale, dipendenza ed indipendenza lineare tra vettori, basi, prodotto scalare, vettoriali, misto e doppio prodotto vettoriale.

Elementi di geometria analitica nel piano. Sistema di Riferimento. Equazione di una retta. Parallelismo ed ortogonalità tra rette. Cenni sulle curve algebriche e classificazione delle coniche: circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.

Funzioni reali di una variabile reale. Nozione di funzione. Grafico di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni inverse. Funzioni composte. Funzioni elementari: valore assoluto, funzione potenza, funzione esponenzialie, funzione logaritmica, funzione trigonometrica. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione inversa. Limiti di funzioni. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli. Teorema di Unicità del limite *. Funzioni continue. Punti di discontinuità di una funzione. Composizione di funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri. Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Criteri di continuità per le funzioni inverse e le funzioni monotone. Continuità delle funzioni elementari.

Calcolo differenziale. Derivata di una funzione. Significato geometrico. Derivabilità e continuità. Regole per il calcolo delle derivate. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. Punti angolosi, cuspidi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange. Massimi e minimi relativi. Criteri di monotonia. Concavità, convessità e flessi. Criterio di convessità. Teorema di de l'Hopital*. Asintoti. Studio del grafico di una funzione.

Elementi di Calcolo Integrale. Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Metodi di integrazione per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Integrali delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione. Integrale definito. Proprietà degli integrali definiti. Teorema della media. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo degli integrali definiti. Calcolo delle aree. Integrali impropri. Criteri di convergenza.

Equazioni Differenziali Ordinarie. Generalità e definizioni, Problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili, Equazioni omogenee. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni differenziali di ordine n a coefficienti costanti. Equazione di Bernoulli.

I numeri complessi. Operazioni, forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, radici nesime dei numeri complessi.

1. P. Marcellini C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.

2. P. Marcellini, C. Sbordone , Esercizi di Matematica Vol. 1 (Tomo 1, Tomo 2, Tomo 3, Tomo 4) e Vol 2. (Tomo 2), Liguori (2009).

3. M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa., Analisi Matematica 1, Zanichelli (2014)

4. A. Repaci, Vettori, Matrici applicazioni , CELID, Torino, 1995

L'esame prevede una prova scritta ed una prova orale. Si può accedere alla prova orale se la votazione conseguita nella prova scritta è pari o superiore a 18/30.

Studio di funzione, classificazione di una conica, risoluzione di sistemi lineari, determinazione di equazione di rette, integrali, equazioni differenziali, numeri complessi,